Geometria
Espacial
POLIEDROS
Ângulo poliédrico
Sejam n, n ≥ 3 semi-retas
de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas
semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as
outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é
o ângulo poliédrico.
Poliedros
Chamamos de poliedro o
sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns
exemplos:
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Os
polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as
arestas e os vértices do poliedro.
A face é um dos elementos de qualquer poliedro. Os demais elementos são: arestas e vértices. Vamos compreender o que são esses outros dois elementos.
Arestas são as linhas resultantes do encontro de duas faces. Ou seja, quando duas faces se encontram elas formam uma linha e essa linha é chamada de aresta.
O cubo possui 12 arestas.
Vértices são os pontos de encontro das arestas. Ou seja, arestas de um poliedro se encontram em um ponto e esse ponto é o vértice do poliedro.
Vértices são os pontos de encontro das arestas. Ou seja, arestas de um poliedro se encontram em um ponto e esse ponto é o vértice do poliedro.
Pela figura podemos ver que o cubo possui 8 vértices.
Podemos fazer uma pequena tabela com os elementos do cubo:
Vamos determinar quantas faces, quantas arestas e quantos vértices o poliedro abaixo apresenta.
Poliedros convexos e
côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer
uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço
que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces,
ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado
côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces,
como por exemplo:
- tetraedro: quatro faces
- pentaedro: cinco faces
- hexaedro: seis faces
- heptaedro: sete faces
- octaedro: oito faces
- icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos
regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge
um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro
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Elementos
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Tetraedro
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4 faces
triangulares
4
vértices
6
arestas
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Hexaedro
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6 faces
quadrangulares
8
vértices
12
arestas
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Octaedro
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8 faces
triangulares
6
vértices
12
arestas
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Dodecaedro
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12
faces pentagonais
20
vértices
30
arestas
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Icosaedro
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20
faces triangulares
12
vértices
30
arestas
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Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
em que V é o
número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de
faces.
Observe os exemplos:
V=8
A=12 F=6
8 - 12
+ 6 = 2
|
V =
12 A = 18 F = 8
12 - 18
+ 8 = 2
|
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice
concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o
mesmo número de arestas;
d) for válida a
relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo,
não-platônico.
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