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quarta-feira, 18 de abril de 2012

Exercicios de revisão - Polinômios


                              


                                     EXERCÍCIOS DE REVISÃO - POLINÔMIOS


01.Calcule os valores de m, n e K para os quais o polinômio   p(x) = (-4m – 16)x³ –     (5n – 7)x² + (18 – 2K) é nulo.

Solução:
-4m-16 = 0         -(5n-7) = 0     18-2k = 0
 -4m = 16           -5n + 7 = 0        -2k = -18
   m= 16/-4        -5n = -7                 k= -18/-2
  m = -4                n= 7/5                k=9

Resposta:  m = -4, n= 7/5 e k=9

02.  Temos que a raiz do polinômio      p(x) = 2x² – mx + 12 é igual a 5. Calcule o valor de m.

Solução:
                2.5 ² - m.5 +12 = 0
                50 - 5m + 12 = 0
                 -5m + 62 = 0
                 -5m = -62    .(-1)                      Resposta: m= 62/5
                   m= 62/5

03.Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 4x – 1, para que valores de k temos p(2) = 4? 

        Solução:              
            2.2³ – k.2² + 4.2 – 1=4
              16 - 4k + 8 - 1 = 4
                   - 4k  + 23 = 4
                   - 4k = 4 -23
                   -4k = -19    .(-1)                      Resposta: k= 19/4
                   4k = 19
                     k= 19/4


04.Sendo P(x)=  4x² +2x+1, Q(x)= x²-4x-8 e R(x)= x + 2, calcule o valor de[(P(x) + Q(x)] – [R(x)]².

a)3x²-7x-1             [(P(x) + Q(x)] – [R(x)]².                            ( x + 2)²=(x+2).(x+2)
b)4x²-6x-11           = [ (4x² +2x+1)+( x²-4x-8)] -  ( x + 2)²      =x ² +2x+2x+4           
c)3x²-8x-11             =(5x²-2x-7) -(x²+4x+4)                            =x² +4x+4
d)3x²-7x-12             =5x²-2x-7 -x²-4x-4
e)nda                       = 4x²-6x-11

                                              Resposta: = 4x²-6x-11

05.Analise as proposições com (V) verdadeira ou (F) falsa:

I – Se o grau do polinômio é 5, então o grau do polinômio 4p é 5.
II – Se o grau do polinômio p é 3 e do polinômio q é 9, então o grau do polinômio p+q é 12.
III – Se o grau do polinômio p é 5 e do polinômio q é 4,então o grau do polinômio p.q é 9.  

A sequência correta é:
a)F,F,V            b)F,V,V      c)V,V,V        d)V,F,V            e)F,F,F

06. Em    relação  ao    polinômio   P(x)=5x-3x³+bx² +3x-2  , sabe-se que      P(1)= -12. Nessas condições, o valor de b é igual a:

a)-15                   b) -6                  c) 7               d) 12             e) 0

Solução:
                 5.1 - 3.1³+b.1² +3.1-2 = -12
                  5 - 3 + b + 3 - 2 = -12
                           b +3 = -12
                           b = -12 -3                               Resposta: b= -15            Alternativa A
                           b = -15


07.(MACK – SP) Os valores de m, n e K para os quais o polinômio p(x)=(2m – 8)x³+(5n – 2)x² + (10 – 2K) é nulo.,são respectivamente:

a) -4, -2/5, -5                              2m-8=0            5n-2=0     10-2k=0
b) 8, 4, 5                                       2m=8             5n=2             -2k=-10  .(-1)
c) 4 , 5/2, 10                                   m=8/2           n=2/5              k=10/2
d) 8 , 2/5 , 5                                    m=4              n=2/5              k=5
e) 4, 2/5, 5
                                                      Resposta: m=4 , n=2/5 e k=5      Alternativa E


08 Dados os polinômios A(x)= (a+3)x² +(b-4)x + c  e B(x)=ax²+bx - 4,  determine os valores de a,b e c, para que A(x)+B(x)=0.

Solução:

 Sendo A(x)= (a+3)x² +(b-4)x + c ,  B(x)=ax²+bx - 4 e  A(x)+B(x)=0. temos:

                 [ (a+3)x² +(b-4)x + c]  +[ax²+bx - 4 ]= 0
                
                    a+3+a= 0          b-4+b =0     c-4=0
                    2a+3=0              2b-4=0        c=4
                    2a = -3               2b =4     
                      a=-3/2                b=4/2
                                                 b=2                   Resposta: a= - 3/2,   b=2   e c=4 

  09.Se os polinômios P(x) = 3x4 +(2r-4)x3 – 6 e Q(x) = ax4 + 8x3 – 6 são idênticos, qual o valor de r²-a³?
a)9             b)-2            c)2            d)0        e) nda

Solução:
                                P(x) = Q(x)
                     3x4 +(2r-4)x3 – 6 = ax4 + 8x3 – 6 

                   a= 3         2r-4=8                        r²-a³ = 6²- 3³ = 36 - 27 = 9
                                    2r = 8+4
                                    2r= 12                                          Alternativa: A
                                     r= 12/2 
                                     r= 6
                 
10.Dados P(x)= (m+n)x² + 2x + 8 e Q(x)= 10x² + (m-n)x + 8 , determine os valores de m e n de modo que P(x)=Q(x).

Solução:

 P(x)= (m+n)x² + 2x + 8 e Q(x)= 10x² + (m-n)x + 8 e  P(x)=Q(x).

m + n  = 10
m- n   =   2
                                         m + n = 10     2m = 12                     6 + n = 10
        m = 12/2                      n = 10 - 6               Resposta: m=6 e n =4
        m=6                             n = 4


11.Dados A= 2x² - 4x+2, B= -2x² +3x- 8 e C= 3x-4, determine:
  
a        a)    A+B+C=(2x² - 4x+2)+( -2x² +3x- 8 ) +( 3x-4)=  2x-10
b        b)    A-B+C  = ( 2x² - 4x+2)-(  -2x² +3x- 8) +( 3x-4) = 2x² - 4x+2 +2x² -3x +8+ 3x-4=
                                                                                              =4x² - 4x+6   
 
    c)  B-A-C   =   -2x² +3x- 8 - 2x² +4x-2 -3x+4 = - 4x² + 4x - 6
 
    d)  (A.C)+B  = (2x² - 4x+2).(3x-4) + (-2x² +3x- 8)
                             (6x³ -20x²+22x-8) + (-2x² +3x- 8) = 6x³ -22x² +25x-16

 
                           Obs.:(2x² - 4x+2).(3x-4)= 6x³-8x²-12x²+16x+6x-8 =  6x³ -20x²+22x-8
      
12..Determine K para que x=4 seja raiz do polinômio P(x)= kx³ + x² - 2x + 1.

Solução:
                          k.4³ + 4² - 2.4 + 1=0
                          64k + 16 - 8 + 1 = 0
                          64k + 9 = 0
                          64k = -9
                              k= -9/64                    Resposta: k= - 9/64

13.Encontre o valor de m para que o polinômio P(x)= (m-3)x³+(m-2)x²+(m-1)x+m tenha:
a)grau 3      m ≠3                             m - 3 = 0
                                                                     m = 3
b)grau 2       m=3

14.Calcule a,b e c para que se tenha P(x)=Q(x), sendo P(x)=x²+4x e Q(x)=(2a-3)x²+
(3b-5)x+c-4.

Solução:
      Se  P(x)=Q(x)   e    P(x)=x²+4x e Q(x)=(2a-3)x²+ (3b-5)x+c-4, temos:

                                  2a-3=1    3b - 5 =4        c-4 = 0
                                  2a=1+3    3b =4+5          c = 4
                                  2a=4        3b = 9
                                   a=4/2        b=9/3
                                   a=2           b=3                Resposta: a=2, b= 3 e c=4


15.  Se P(x) é um polinômio de grau 4 , então, o grau de [P(x)]3+ [P(x)]2 + 6P(x) é:
a) 3               b) 20           c) 12               d) 30         e) 24

Solução:
     [P(x)]3           grau 3x4 = 12
     [P(x)]2           grau 2x4 =8
     6P(x)             grau 1x4x=4            Resposta: Grau da operação final : 12º

                                                               Alternativa: C

16. (PUC-SP) O número de raízes reais do polinômio p(x) = (x2 + 1) (x – 1) (x +1) é:
a) 0                   b) 3                 c) 1               d) 4             e) 2

Solução:
                   x2 + 1 = 0      x – 1 = 0        x +1 = 0
                           x2  = -1       x = 1           x = -1                Resposta : x=1 ou  x= -1
              Não tem solução                                                  Alternativa: E                                          
                        
17. O valor numérico de um polinômio P(x) para x=1 é igual a soma dos seus coeficientes, então a soma dos coeficientes de     P (x) = (x2 +2x – 1)3 é igual a:

a)    5                  b) -8                c)8                  d) 10          e)15

                                 Resposta: soma = P (1) = (12 + 2 · 1 – 1)3 = 23 = 8

                                                                       Alternativa: C

18. Dados os polinômios A(x) = x2 – 3x + 7 e B(x) = x3 – 3x2 + 3, a soma dos coeficientes do polinômio resultante do produto A(x) · B(x) é igual a:
a)12                     b)0              c) -6            d)4           e) 5

Solução:
Podemos fazer: Somar os coeficientes de A(x) = 1-3+7 =5
                             Somar os coeficientes de B(x) = 1-3+3=1 

                   Multiplicamos; 1 x 5 = 5               Alternativa; E


19. Sendo f, g e h polinômios de graus 4 ,6 e 5, respectivamente, o grau de (f+g).h será:
a)  7                        b)11                      c) 9                  d )13                  e)NDR

Solução:

f +g tem grau 6 , pois nessa soma prevalece o maior grau
(f+g).h  = em (f+g) o grau é 6 e o polinômio h tem grau 5 ,então o grau dessa operação é 11.

                                              Alternativa: B

20.(FAFI-MG) Sendo P(x)=x²-2x+1, pode-se dizer que P(x+1) – P(x) vale:

a)1                      b)2x                 c)2x-1            d)2x+1          e) 4

Solução:

    Se  P(x)=x²-2x+1 , então  P(x+1) – P(x) vale:

            P(x+1)=  (x+1)²-2(x+1)+1                P(x)=x²-2x+1 
           P(x+1)= x² + 2x + 1 -2x - 2 + 1
           P(x+1)=  x²
Substituindo em   P(x+1) – P(x)=( x² ) - (x²-2x+1) = x² - x² +2x -1 = 2x - 1

                                                                             Alternativa C 

21. Dados P(x)= (m+n)x² + x + 8 e Q(x)= 7x²+(m-n)x + 8 , determine os valores de m e n de modo que P(x)=Q(x).

Solução:
P(x)= (m+n)x² + x + 8 e Q(x)= 7x²+(m-n)x + 8                   P(x)=Q(x).     

m + n  =7
m - n   = 1
                                         m + n = 7
     2m = 8                          4 + n = 7
        m = 8/2                      n = 7- 4               Resposta: m=4 e n =3
        m=4                             n = 3


22. Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(-2) = 10?

Solução:

              2(-2)³ – k(-2)² + 3(-2) – 2k=10
                -16 -4k -6 -2k = 10
                        -6k -22 = 10
                       -6k =10+22
                       -6k =32
                        6k= -32
                          k= -32/6 simplificando por 2                       Resposta: k= -16/3
                          k= -16/3
23. Se os polinômios P(x) = 4x4 – (r + 2)x3 – 5 e Q(x) = sx4 + 5x3 – 5 são idênticos, qual o valor de r3 – s3?

Solução:                 P(x)= Q(x)
                  4x4 – (r + 2)x3 – 5 =  sx4 + 5x3 – 5
                
                s=4     -(r+2) = 5                  r3 – s3
                            -r - 2 = 5                  (-7)³ - ( 4)³  = - 343 - 64= - 407
                            -r = 5 +2
                            -r= 7  .(-1)                      Resposta: - 407
                             r= -7
 

24. .Efetue as seguintes operações com  polinômios:
a) (5x²-9x+2)+(3x²+7x-1) =    
8x²-2x+1
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+5x-2) + 4x-6 =       3x² 14x -16
c) (3x-6x²+4)-(4x²+2x-2)=     3x-6x²+4 -4x²-2x+2= -10x²-x+6
d) (5x²-7x+2)-(2x²+8x-1) -5x+7 =  5x²-7x+2 - 2x²-8x +1 -5x+7 = 3x²-20x+10
e) (3x+1).(3x-4)=             9x²-12x+3x-4 =9x² -9x - 4
f) (4x²+5x+2).(3x-1) =    12x³-4x²+15x²-5x+6x-2 =12x³+11x²+x-2

25. Sendo P(x)=  -2x² +2x+1, Q(x)= x²-4x-5 e R(x)= x-3, calcule o valor de [(P(x) + Q(x)] – [R(x)]².

                  [(P(x) + Q(x)] – [R(x)]².                                           ( x - 3)²=(x-3).(x-3)
                = [ (-2x² +2x+1)+( x²-4x-5)] -  ( x - 3)²                       =x ² -3x-3x+9           
                 =(-x²-2x-4) - (x²-6x+9)                                               =x² -6x+9
                 = -x²-2x-4 -x² +6x -9
                 = -2x²+4x-13

                                              Resposta: = -2x²+4x-13
26. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
 
      a) i                b) -i + 1                c) i - 1                     d) i + 1                   e) -i 

Solução:

f(1 - i)=  (1-i)2 - (1-i) + 1                               (1-i)2=(1-i).(1-i) = 1 - i - i + i2
f( 1 - i) = - 2i -1 + i+1                                                                    = 1 - 2i -1 =   - 2i 
f(1 - i ) = -i


                                                       Alternativa E








4 comentários:

  1. NA ÚLTIMA QUESTÃO....(1-I)², PORQUE O RESULTADO DEU -2I??? O QUE OCORREU COM O I²??? NÃO DEVERIA SER 1 - 2I - I²??

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  2. A unidade imáginária no Conjunto dos números complexos é
    i=√(-1)(raíz quadrada de -1. Invertendo essa operação teremos
    i elevado ao quadrado = -1, logo:

    1 -2i + i² i² substituimos por -1 (i²=-1)
    1-2i -1 = -2i

    Um abraço

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  3. 2x²-3+x=x²+7=0 ???? me ajuda???

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