O PRÍNCIPE DA MATEMÁTICA
FREDERICH GAUSS
Um professor, para manter
seus alunos ocupados, mandou que somassem todos os números de um a cem.
Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua
surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a
resposta correta: 5.050. Como ele fez a conta tão rápido? Gauss observou que se
somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. Se
somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101.
Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado
também era 101. Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a
100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050. E
assim, ainda criança Gauss inventou a fórmula da soma de progressões
aritméticas. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores
matemáticos que já existiram. É por muitos considerado o maior gênio matemático
de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da
Matemática
SOMANDO TODOS OS NÚMEROS DE 1 A
100
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Vamos
ver como Gauss percebeu rapidamente que a soma de todos os números de 1 a 100
resulta em 5.050. Para isso, vamos somar os termos de dois em dois, de uma
forma bem especial. Veja:
Nas
somas acima, ocupando o lugar da primeira parcela temos todos os números de 1
a 50. No lugar da segunda parcela, temos todos os números de 51 a 100. São 50
somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número: 101. Portanto, para
somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular
50 x 101 = 5050.
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
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A soma
de todos os números de 1 a 100 é um caso particular de soma de uma progressão
aritmética (PA). Uma PA é uma sucessão de números em que a diferença entre
dois números consecutivos é sempre a mesma. Por exemplo:
5, 8,
11, 14, 17, 20, 23, 26
é uma
PA de razão 3 (a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a
3).
O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer PA. Vamos utilizá-lo para a PA acima:
Logo, a
soma dos termos da PA dada é 4 x 31 = 124.
A partir destas observações, vemos que para calcular a soma dos termos de qualquer PA basta somar o primeiro termo com o último e multiplicar por metade da quantidade de termos que tem a PA. Isto é, se:
a soma
de todos os termos da PA poderá ser calculada pela fórmula:
S = n (a1 + an)/2.
Para
saber mais sobre progressões aritméticas, acesse http://www.uff.br/cdme/afim
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BIOGRAFIA DA VIDA DE FREDERICH GAUSS
Gauss nasceu em 30 de abril de 1777 em uma
família humilde que vivia numa cidade da Alemanha chamada Brunswick. Era um
menino prodígio, com habilidades impressionantes tanto em aritmética quanto
para o aprendizado de línguas. Seu talento foi reconhecido pelo Duque de
Brunswick que custeou seus estudos na Universidade de Göttingen de 1795 à 1798.
Gauss tornou-se rapidamente conhecido no meio científico. Em seu doutorado apresentou contribuições importantes à álgebra. Em 1801 lançou duas importantes publicações: Disquisitiones Arithmeticae, um livro texto sobre teoria algébrica dos números e um artigo com a “redescoberta” do asteróide Ceres. Um ano antes, este astro havia sido descoberto pelo astrônomo italiano Giuseppe Piazzi. Entretanto, antes que se pudesse obter dados suficientes e precisos sobre a órbita do asteróide e sobre quando ele reapareceria, o astro passou desapareceu atrás do sol. A partir de então, vários pesquisadores começaram a buscar pelo asteróide. Foi Gauss que o encontrou. Para essa tarefa ele desenvolveu um método de tratamento para erros em observações chamado Método dos Mínimos Quadrados. Este método é muito utilizado até hoje por sua eficiência e simplicidade. Em 1807, com trinta anos, Gauss foi nomeado Professor de Astronomia da Universidade de Götingen.
Gauss atuou em muitas áreas das ciências exatas. Trabalhou em álgebra, teoria dos números, equações diferenciais, teoria de funções elípticas, cartografia, pesquisou o campo magnético terrestre, participou do desenvolvimento do primeiro telégrafo elétrico, contribuiu para a física-matemática com trabalhos em eletromagnetismo e gravitação, além de inúmeros outros tópicos aos quais dedicou suas pesquisas.
Gauss casou-se duas vezes. A primeira esposa, Johanna, deu-lhe três filhos, mas faleceu cedo, em 1809. Seu segundo casamento foi com Minna Waldeck, filha de outro professor de Göttingen, que lhe deu mais três descendentes.
Gauss tornou-se rapidamente conhecido no meio científico. Em seu doutorado apresentou contribuições importantes à álgebra. Em 1801 lançou duas importantes publicações: Disquisitiones Arithmeticae, um livro texto sobre teoria algébrica dos números e um artigo com a “redescoberta” do asteróide Ceres. Um ano antes, este astro havia sido descoberto pelo astrônomo italiano Giuseppe Piazzi. Entretanto, antes que se pudesse obter dados suficientes e precisos sobre a órbita do asteróide e sobre quando ele reapareceria, o astro passou desapareceu atrás do sol. A partir de então, vários pesquisadores começaram a buscar pelo asteróide. Foi Gauss que o encontrou. Para essa tarefa ele desenvolveu um método de tratamento para erros em observações chamado Método dos Mínimos Quadrados. Este método é muito utilizado até hoje por sua eficiência e simplicidade. Em 1807, com trinta anos, Gauss foi nomeado Professor de Astronomia da Universidade de Götingen.
Gauss atuou em muitas áreas das ciências exatas. Trabalhou em álgebra, teoria dos números, equações diferenciais, teoria de funções elípticas, cartografia, pesquisou o campo magnético terrestre, participou do desenvolvimento do primeiro telégrafo elétrico, contribuiu para a física-matemática com trabalhos em eletromagnetismo e gravitação, além de inúmeros outros tópicos aos quais dedicou suas pesquisas.
Gauss casou-se duas vezes. A primeira esposa, Johanna, deu-lhe três filhos, mas faleceu cedo, em 1809. Seu segundo casamento foi com Minna Waldeck, filha de outro professor de Göttingen, que lhe deu mais três descendentes.
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