Função Inversa e função composta

 

                                         FUNÇÃO INVERSA

 

Dada uma função f : A -- B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f ^-1 como sendo a função de B em A , tal que f ^-1 (y) = x . 

Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:

a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f ^-1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f ^-1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f ^-1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante . 

Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada. 

O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa. 

Observe que as curvas representativas de f e de f^-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exercício resolvido:
A função f: R --- R , definida por f(x) = x² :

a) é inversível e sua inversa é f ^-1 (x) = Ö x
b) é inversível e sua inversa é f ^-1(x) = - Ö x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora 

SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x², definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em consequência, não é inversível. 

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x² é o conjunto R ⁺ dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é  igual a R. A alternativa correta é a letra C. 

                                        FUNÇÃO COMPOSTA

 

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Veja o esquema a seguir: 

Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa . 

Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3

Observe que fog ¹ gof . 

Exercícios resolvidos: 

1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:

a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc 

SOLUÇÃO:

Teremos:

fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:    acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:   ad + b = cb + d
ad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A.

2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:

a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par. 

SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.

Agora resolva esta:

Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:

*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1