Divisão de Polinômios: 3ª Série Ensino Médio

Polinômios : Divisão

01.  Para que o polinômio P(x) = x⁵ – 2x⁴ + kx³ – 3x² + 6 seja divisível pelo binômio   -x + 1, o valor de k deve ser igual a:

a)k=-2               b)k=1              c)k= 3               d)k=7             e) k=0

02. Dividindo o polinômio x³ – 5x² + 8 pelo polinômio p(x) resulta no quociente x² – 2x – 6, com resto -10; portanto, o polinômio p(x) é:

a)x-2             b)x                c)x+3               d)x+2            e)x-3

03.(UESP) Se o polinômio P(x) = x³ + mx² - 1 é divisível por x² + x - 1, então m é igual a:

a) -3                b) -2             c) -1           d) 1               e) 2

04.Para que o polinômio 2x⁴ - x³ + mx² - nx + 2 seja divisível por x² - x - 2, devemos ter:
       
a) m = 1 e n = 6
b) m = -6 e n = -1
c) m = 6 e n = 1
d) m = -6 e n = 1
e) m = 6 e n = -1

05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x⁴ - 10x³+ 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, são:

a) -1 e 5          b) -1 e -5          c) 1 e -5          d) 1 e 5            e) 0 e 1

06.(UFMG) – O quociente da divisão de P(x) = 4x⁴ – 4x³ + x – 1 por q(x) = 4x³ +1 é:

a)x – 5       b)x – 1            c)x + 5               d)4x – 5           e)4x + 8

07.(UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x³ – 2x² + x + 1 por x² – x + 2 ?

a)x + 1             b)3x + 2              c)-2x + 3            d)x – 1             e)x – 2 

08. (CEFET-PR) – O quociente da divisão de P(x) = x³ – 7x² +16x – 12 por Q(x) = x – 3 é:

a)x – 3             b)x³ – x² + 1          c)x² – 5x + 6       d)x² – 4x + 4      e)x² + 4x – 4

09.(UNICAMP-SP) – O resto da divisão do polinômio P(x) = x³ – 2x² + 4 pelo polinômio Q(x) = x² – 4 é:

a)R(x) = 2x – 2        b)R(x) = -2x + 4      c)R(x) = x + 2   d)R(x) = 4x – 4    e)R(x) = -x + 4

10. (PUC-PR) – O resto da divisão de x⁴ – 2x³ + 2x² + 5x + 1 por x – 2 é:

a)1             b)20           c)0           d)19              e)2

11.(PUC-BA) – O quociente da divisão do polinômio P = x³ – 3x² + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:

a)x              b)x – 1               c)x² – 1           d) x² – 2x + 1              e)x² – 3x + 3

12. (UEM-PR) – A divisão do polinômio 2x⁴ + 5x³ – 12x + 7 por x – 1 oferece o seguinte resultado:

1. Q = 2x³ + 7x² + 7x – 5 e R = 2
2. Q = 2x³ + 7x² – 5x + 2 e R = 2
3. Q = 2x³ + 3x² – 3x – 9 e R = 16
4. Q = 2x³ + 7x² – 5x + 2 e R = 0
5. Q = 2x³ + 3x² – 15x + 22 e R = 2 

13. (CESGRANRIO-RJ) – O resto da divisão de 4x⁹ + 7x⁶ + 4x³ + 3 por x + 1 vale:

a)0               b)1             c)2            d)3              e)4

14. (UFRS) – A divisão de p(x) por x² + 1 tem quociente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:

a)x² + x – 1         b)x² + x + 1          c)x² + x         d)x³ – 2x² + x – 2       e)x³ – 2x² + x – 1 

15. (UFSE) – Dividindo-se o polinômio f = x⁴ pelo polinômio g = x² – 1, obtém-se quociente e resto, respectivamente, iguais a: 

a)x² + 1 e x + 1      b)x² – 1 e x + 1       c)x² + 1 e x – 1      d)x² – 1 e -1      e)x² + 1 e 1 

16. (FATEC-SP)  Se um fator do polinômio P(x) = x³ – 5x² + 7x – 2 é Q(x) = x²- 3x + 1, então o outro fator é:

a)x – 2       b)x + 2       c)-x – 2          d)-x + 2           e)x + 1

17.Qual o resto da divisão de P(x) = x⁴⁰ – x – 1 por (x–1)?

18. (PUC-MG ) O polinômio P(x) = x⁴ – kx³ + 5x² + 5x + 2k é divisível por x – 1. Então, o valor de k é:

a) –11           b) –1/3            c) 1/5            d) 9                  e)-6

19.Calcule os quocientes:

a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)

20.O resto da divisao de p(x) = x³+7x²-2x+5 por q(x)=x+3 é:

a)53           b) 37            c) 33              d) 47               e) 43

Polinômios; Exercícios

                                                  EXERCÍCIOS : POLINÔMIOS

01.Se P(x) é um polinômio de grau 6 , então, o grau de [P(x)]³+ [P(x)]² + 6P(x) é:

a) 3       b) 20      c) 12      d) 18     e) 24

02. (PUC-SP) O número de raízes reais do polinômio p(x) = (2x+ 4).(x – 2). (x +1) é:

a) 0         b) 3       c) 1     d) 4     e) 2

03.Dados os polinômios A(x) = x² – 3x + 6 e B(x) = x³ – 3x² + 5, a soma dos coeficientes do polinômio resultante do produto A(x) · B(x) é igual a:

a)15        b)12        c) -6      d)18       e) 5 

04.. Sendo f, g e h polinômios de graus 4 ,6 e 5, respectivamente, o grau de (f.g)+h será:

a) 7        b)11       c)10      d)13     e)14

05.(MACK – SP) Os valores de m, n e K para os quais o polinômio p(x)=(2m – 8)x³ +(5n – 2)x² + (10 – 2K) é nulo.,são respectivamente:

a) -4, -2/5, -5        

b) 8, 4, 5        

c) 4 , 2/5, 5

d) 8 , 2/5 , 5         

e) 4, -2/5, -5

  06.Se os polinômios P(x) = 4x⁴ +(r-4)x³ – 10 e Q(x) = (3a-5)x⁴ + 2x³ – 10 são idênticos, qual o valor de r²-a²?

a)15         b)-2           c)27        d)0        e) 18

07. Numa Olimpíada de Matemática realizada na Escola Pedro II, foi proposto ao aluno Manoel Costa que desenvolvesse o seguinte problema: ‘ Calcule o produto dos polinômios 2x+3 por x+4 e depois some com o polinômio 4x²-10x-15’. Ele afirmou que não saberia dar essa resposta, por que não estudou as operações com polinômios. Então , esse desafio fica para você, aluno da 3ª série da EREM JLSS desenvolver.

A resposta desse desafio é dada por:

a) 6x²+4x-3

b) 6x²+x-3

c) 6x²+x-3

d) 6x²+5x+3

e) 6x²+21x-27

08. Temos que a raiz do polinômio  p(x) = 2x² – mx + 6 é igual a 3. Então, o valor de m é dado por:

a)5     b) -3       c) 5/6       d)10        e)6

09.Dados P(x)= (m+n)x² + x + 8 e Q(x)= 7x²+(m-n)x + 8 , determine os valores de m e n de modo que P(x)=Q(x).

a)m = 3 e  n= 4

b)m = 1 e  n= 4

c)m = 4 e  n= 3

d)m = -4 e  n= 4

e)m = 4 e  n= 1

10.Desenvolva os seguintes problemas:

  A) O valor numérico de um polinômio P(x) para x=1 é igual a soma dos seus coeficientes, então a soma dos coeficientes de P(x) = (x² +2x +2)^² é igual a:

a)    35        b) -8      c)12         d) 10        e)25


B)(FAFI-MG) Sendo P(x)=x²-2x+1, pode-se dizer que P(x+1) - P(x) vale:

a)1         b)2x       c)2x-1      d)2x+1         e) 4

C) Considerando que p(x) =2x³ +kx² +4x–5, para que valores de k temos p(2) = 4? 

a)-1/5     b)-4/15     c)-15/4    d)-8/17     e)nda

Probabilidades

EXERCÍCIOS  PROBABILIDADES - 02  

01.Quatro colegas A,B,C e D resolvem realizar um passeio em um barco. Como a embarcação só pode levar duas pessoas, decidem, então, fazer um sorteio para a escolha dos dois que irão. Qual a probabilidade de A ir e B não ir?

a)1/2               b)1/3            c)1/4            d)1/5         e)1/6

02.(FUVEST -SP) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:

a)2/9              b)1/3           c)4/9              d)5/9        e)2/3

03.(Fuvest-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos  divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:

a)1/2              b)1/4                c)1/3                d)1/5    e)1/6

04.(Fasp-SP) Um colégio tem 400 alunos. Destes: 100 estudam Matemática, 80 estudam Física, 100 estudam Química, 20 estudam Matemática, Física e Química, 30 estudam Matemática e Física, 30 estudam Física e Química, 50 estudam somente Química. A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudar somente Matemática é:

a) 1/10            b)1/8         c)2/5            d)5/3

05.(PUC/Campinas-SP) Considere o lançamento de dois dados iguais. A probabilidade de a soma das faces obtidas ser um valor x, tal que 6 ≤ x ≤ 8 é:

a)1/2         b)1/6        c) 5/6          d)6/13       e)4/9

06.Numa classe de 50 alunos, 25 gostam de Matemática, 30 gostam de Geografia e 5 não gostam de nenhuma dessas duas matérias. Escolhendo um aluno dessa classe, ao acaso, qual a probabilidade de ele gostar de Matemática e Geografia?

a)20%    b)30%      c)40%        d)10%          e)15%

07.(FEI) Na inspeção de qualidade de produção de um tipo de peça, adota-se o seguinte procedimento: de cada lote de 20 peças produzidas, são separadas aleatoriamente 2 peças, depois essas 2 peças são testadas e, se pelo menos uma delas apresentar algum defeito, o lote é rejeitado. Sabendo-se que num determinado lote de 6 peças defeituosas e 14 peças perfeitas, qual a probabilidade de esse lote ser aprovado?

a)1/2                b)3/10       c)3/20          d)6/91           e)91/190

08.Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

a)1/5       b)2/5        c)3/5         d)12/17        e)2/3

09.(Vunesp) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se 2 cartas, uma após a outra. Determine a probabilidade de a segunda ser um ás, sabendo que a primeira é um ás.

a)3/11               b)3/8                      c)1/4               d)5/12       e)3/7

10.Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número nas seguintes condições:
a) par
b) primo
c) par ou primo
d) par e primo

11.(ENEM- 2011)Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é
a) 1/5           b) ¼               c) 2/5             d) 3/5                    e) ¾
12.A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes?

13.(ENEM-2010)O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

A) 2 × (0,2%)⁴.
B) 4 × (0,2%)².
C) 6 × (0,2%)² × (99,8%)².
D) 4 × (0,2%).
E) 6 × (0,2%) × (99,8%).

14.Qual é a probabilidade de, selecionado ao acaso, um anagrama da palavra ANE, iniciar-se por consoante?

a) 1/3         b) 1/6        c)2/3          d) 5/8         e) 1/2

15.Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:

a)2/9            b)1/3            c)4/9             c) 5/9             e)2/3 

SAEPE 2013 REVISÃO DE CONTEÚDOS

Combinatória - Exercícios sobre Princípio da Contagem

01.O valor de n que torna verdadeira a sentença  (n)! /(n-2)! = 20 é:

a)10           

b)5            

c)3            

d)8           

e)9

02. . A solução da equação (2n -1)!= 5040 é um número:

a)fracionário       

b) inteiro negativo     

c)inteiro positivo       

d)decimal exato

e) a equação não possui solução

03.(UFJF–MG)Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pela qual Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:

a) 288                 

b) 296            

c) 864                   

d) 1728                        

e) 2130

04.Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos anagramas  com 3 letras distintas podem ser montados?

a)15.200    

b)15.900           

c)15.600           

d)15.880           

e)15.550

05. De quantas maneiras uma família de 6 pessoas pode sentar-se num banco de 6 lugares para tirar uma foto?

06.De quantas maneiras uma família de 7 pessoas pode sentar-se num banco de 7 lugares, ficando duas delas sempre juntas, em qualquer ordem?

07.Tomando com base a palavra PANELAS, resolva as questões a seguir:

a) Quantos anagramas podemos formar?

b) Quantos anagramas começam e terminam com vogal?

a) Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas?

b) Quantos anagramas podem ser formados com as letras N e L juntas?

c) Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL, nessa ordem?

08. (Unitau ) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com a letras AS, nesta ordem é:

a) 9!              

b) 11!            

c) 9!/(3! 2!)                 

d) 11!/2!               

e) 11!/3!

09. Quanto números pares  com 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2,3,4,5,6,7 e 8?

10.(UFBA) Numa eleição para diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor , 3 a primeiro-tesoureiro e 4 a tesoureiro. O número de resultados possíveis da eleição é:

a)4                 

b)24              

c)72         

d)144       

e) 12!

11. A senha de acesso a um jogo de computador consiste em dois caracteres alfabéticos distintos e três numérico também distintos.No grupo dos caracteres alfabéticos temos 8 letras e no grupo dos caracteres numéricos temos 5 algarismos.Sendo assim, calcule o número de senhas possíveis para abrir o acesso ao jogo

12. De quantos modos distintos 8 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 8 lugares,sabendo que 1º da fila é o mais jovem e o último é o mais velho?

Exercício - Função do 2º grau

01.(UFPA) As coordenadas do vértice da função y =x² - 2x + 1 são:

a)V (1,0)                  b) V( 0,1)        c) V(-1,1)                d) V(-1,4)             e)nda

02.Os zeros ou raízes da função de R em R definida por f(x)= x² - 2x – 15 são:

a)   2 e 3        b)  -3 e 5        c)  5 e 7        d)   3 e 5            e)  -2 e -3

03.(UEPG-PR) Seja a função f(x)= 3x²+4 definida para todo x real. Seu conjunto imagem é:

a) Im={ y € R/ y≤ 4}            b) Im={ y € R/ y > -4}          c) Im={ y € R/ y > 5}         

d) Im={ y € R/-4 <y<4}       e) Im={ y € R/ y≥ 4}

04.Determine o valor de m na função do 2º grau  f(x)=(5m-10)x² +(m-3)x +10 para que tenha a concavidade da parábola voltada para cima.

05.. Para a função f(x) = x² - 7x + 10, determine:

a) as raízes ou zeros da função

b) as coordenadas do vértice

c) o valor mínimo

d) o conjunto imagem

06.  (PUC-Campinas)  Uma bola é largada de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão

h = - 4t² + 64. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

a)  2,5s           b) 4s           c)  5s           d)  10s          e) 16s            

08..(UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x² + 12x + 20, tem um valor:

a) mínimo, igual a -16, para x = 6;
b) mínimo, igual a 16, para x = -12;
c) máximo, igual a 56, para x = 6;
d) máximo, igual a 72, para x = 12;
e) máximo, igual a 240, para x = 20.

09..Considere a função f: IR , definida por f(x) = x²- 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:

a) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);

b).f possui dois zeros reais e distintos;

c) f atinge um máximo para x = 1;

d)gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas

Exercícios:Combinações e arranjos simples

                                             Exercicios de Aprendizagem

                                          Combinações Simples

01.(Uespi) De um grupo de 7 pessoas, o número de maneiras distintas de formar uma comissão composta de 5 elementos do grupo é:

a)42   b)21    c)120   d)10    e)20

02. Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.

03. Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? 

04.Quantas comissões de 3 participantes podem ser formadas com 5 pessoas?

05.Quantos jogos serão realizados num campeonato de futebol com a participação de 20 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada time enfrente outro em campo próprio e em campo adversário?

a)380      b) 340      c)120    d) 190     e)360

06.(IME-SP) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de saladas, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas?

07.Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 4 moças podemos formar?

08.Ao planejar uma prova de matemática contendo 5 questões, um professor dispõe de 5 questões de Álgebra e 6 de trigonometria. Calcular o número de provas diferentes que é possível elaborar, usando em cada prova 2 questões de Álgebra e 3 de Trigonometria.

09.(Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe.Qual é o número total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos?

10.(Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios    de uma empresa são:

a)504  b)40   c)2  d)210    e)300

11.(U.Amazônia PA) Dispõe-se de oito tipos  de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é composta de cinco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar é:

a)8  b)10  c)56   d)120   e)6.720

12.Quantas comissões composta de 4 alunos podemos formar tendo disponível 10 estudantes?

13. Marcamos 9 pontos distintos em uma circunferência. Quantos triângulos com vértices em três quaisquer desses pontos podem ser formados?

14.Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.

15.Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?

16.(Ulbra-BA) Sobre uma reta r, marcam-se 11 pontos e sobre a reta s, paralela a r, marcam-se 7 pontos. O número de triângulos que podem ser obtidos, unindo-se três quaisquer desses pontos  é:

a)490  b)616    c)654    d)816

Arranjos simples

17.Quantos números de três algarismos distintos formamos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6?

18. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a)861
b)1722
c)1764
d)3444
e)242

19.Quantas são as possibilidades de criar palavras de 3 letras, sem repetição, com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?

20. .Num estádio de futebol, há oito de acesso as arquibancadas. De quantos maneiras um torcedor pode entrar por um portão e sair por outro?

a) 50   

b)58     

c)56    

d)64     

e)90

21.Quatro times de futebol (Vasco , Atlético,Corinthians e Palmeiras) disputam um torneio.Quantos  são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares?

a)12   

 b)40      

c) 24      

d)18        

e)15