Introdução aos cilindros
O
conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos
aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos
caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com
formas cilíndricas. Existem outras formas cilíndricas diferentes das
comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da
função seno.
Aplicações práticas: Os cilindros abaixo recomendam alguma aplicação importante em sua vida?
A Construção de cilindros
Seja
P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos também
um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem esteja
contido neste plano P.
Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo.
Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R3, mas
muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região sólida
contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um
sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do "chão", o
cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ
for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.
Objetos geométricos em um "cilindro"
Num cilindro, podemos identificar vários elementos:
- Base
É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
- Eixo
É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
- Altura
A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
- Superfície Lateral
É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases,
obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a
curva diretriz.
- Superfície Total
É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
- Área lateral
É a medida da superfície lateral do cilindro.
- Área total
É a medida da superfície total do cilindro.
- Seção meridiana de um cilindro
É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.
Extensão do conceito de cilindro
As características apresentadas anteriormente para cilindros circulares,
são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como:
elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num
plano.
Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem
cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de
curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos
uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro:
elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).
Classificação dos cilindros circulares
- Cilindro circular oblíquo
Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
- Cilindro circular reto
As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de
cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela
rotação de um retângulo.
- Cilindro equilátero
É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.
Volume de um "cilindro"
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = Abase × h
Se a base é um círculo de raio r, então:
V =
r
2 h
Exercício: Calcular o volume de um cilindro oblíquo com
base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h.
Áreas lateral e total de um cilindro circular reto
Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:
A
lat = 2
r h
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
A
tot = A
lat + 2 A
base
A
tot = 2
r h + 2
r
2
A
tot = 2
r(h+r)
Exercício 01: Dado o cilindro circular equilátero (h=2r), calcular a área lateral e a área total.
No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por:
A
lat = 2
r. 2r = 4
r
2
A
tot = A
lat + 2 A
base
A
tot = 4
r
2 + 2
r
2 = 6
r
2
V = A
base h =
r
2. 2r = 2
r
3
Exercício 02: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.
- Cálculo da Área lateral
Alat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm2
- Cálculo da Área total
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 12 + 2 22 = 12 + 8 = 20 cm2
- Cálculo do Volume
- V = Abase × h = r2 × h
V = 22 × 3 = × 4 × 3 = 12 cm3
-
- EXERCICIOS PROPOSTOS DE APRENDIZAGEM
01) Um reservatório para álcool tem a forma de um cilindro reto com 16m de
altura e 8m de diâmetro da base. Qual a capacidade, em litros, do reservatório?
02) Determine o
volume do cilindro inscrito num cubo de aresta 2 cm.
03) Sabendo
que a seção meridiana de um cilindro é um quadrado de 36 cm2 de área, calcule a área lateral do cilindro e o
volume.
04). Quantos
metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço cilíndrico
que tem 10m de diâmetro e 15m de profundidade?
05). Quantos
centímetros quadrados de folha de flandres são necessários para construir uma
lata de óleo, com tampa, na forma de um cilindro reto, tendo 8cm de diâmetro de
base e 18cm de altura?
06).(Unimep-SP) Faz girar um quadrado de lado 1cm em
torno de um de seus lados; A área total do sólido resultante vale:
a) 4π cm² b) π cm² c) 8π cm² d) π/2 cm² e) 2π cm²
